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1078电大《复变函数》试题和答案200707

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试卷代号:1078
中央广播电视大学2006-2007学年度第二学期"开放本科"期末考试
数学专业 复变函数 试题
2007年7月
一、单项选择题(本题共20分,每小题4分)
1.若M=(3+i)(2-i)/(2+i)(3-i),则|M|=( ).
A.4.5 B.3
C.2.5 D.1
2.点z=1/2 i是集合E={z:|z|<1)的( ).
A. 孤立点 B.内点
C. 外点 D.边界点
3.设z=x+iy ,若f(z)=x2一y2+2xyi,则f'(z)=( ).
A.2z B.一2z
C. z十1 D.Z一1
4.ln(-1)=( ).
A.πi B 2kπi(k为整数)
C 1 D.(2k十1) πi(k为整数)
5.Res(1/2,0)=( ).
A.O B.1
  C.2 D. 3
二、填空题(本题共20分,每小题4分)
  1.设x,y为 ,称形如(x,y)的有序数对为复数,其中的"有序"意指:若x≠y,则(x,y)≠(y,x).
   2.设w=f(z),z∈G,z。∈G且zo为G的 点,若,则称f(z)在点z。连续.
   3. 函数;在复平面上处处 导.
   4.级数的收敛半径等于--·
  
   5.映射w=z+6将圆周映射为 .
   三、计算题(本题共45分,每小题15分)
   1.设v=y2+2x-1,试求以v为虚部的解析函数f(z)=u+iv,使得f(2)=-i
  
   3.将函数f(z)=1/(z2+z-2)在点z=o的邻域内展成幂级数.
四,证明题(本题15分)
试证:点z=-1是函数f(z)=z2++2z+1的二级零点.





试卷代号:1078
中央广播电视大学2006-2007学年度第二学期"开放本科"期末考试
数学专业 复变函数 试题答案及评分标准
(供参考)
2007年7月
一、单项选择题(本题共20分,每小题4分)
1.D 2.B 3.A 4.D 5,B
二、填空题{本窟共20分,每小题4分)
1.实数
2.聚
3.不可
4. 1
s.圆周
三、计算题(本题共45分,每小题15分)
1.解:由C-R条件有
ux=vy=2y
于是
u=2xy十φ(y)
由此得
uy=2x十φ'(y)=-vx=2x-2
从而有
φ(y)=一2y十c (c为任意常数)
因此
u=2xy-2y十c
故得
f(z)=(2xy一2y十c)十i(y2-x2十2x一1)
由f(2)=一i得c=0,故得
f(z)=(2xy-2y)十i(y2-x2+2x-1)
=-i(z-1)2 ,...,,...15分
2.解:设f(z)=cosπz,由高阶导数公式得



.........ls分
3.解:因为f(z)的有限奇点只有z1=1与z2=一2,所以,f(z)在点z=o可展成幂级
数,且f(z)在 |z|<1内可展开,有:



.........ls分
四、证明题(本题15分)
证法1:因为函数f(z)在点z=一1解析,且f(一1)=0,所以点z=一l为函数f(z)的零点,又因
f(一1)=f'(一1)=0,但f''(一1)≠0
故由定义知道,点z=一l为函数f(z)的二级零点. ......15分
证法2:因为函数f(z)在点z=一1解析,且f(一1)=0,所以点z=一l为函数f(z)的零点,又因
f(z)=z2十2z十1=(z十1)2
=[z一(一1)]2.1
而常数函数(z)=φ1在点z=一1解析,且φ(一1)≠0,故由定理5.1l得知点z=一l为函数f(z)的二级零点. .........15分
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